/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 3213802

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a . Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 3 0∘ . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Jeżeli popatrzymy na trójkąt równoramienny ABD , to widać, że łatwo można obliczyć krawędź boczną:

√ -- -a2-- ∘ --a- a--3- BD = cos30 ⇒ BD = √ 3-= 3 .

Teraz patrzymy na trójkąt ABE , korzystając z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość odcinka AE .

2 2 2 ∘ AE = AB + BE − 2AB√ -⋅BE√ -cos30 = 2 a2 a2 3 3 13 2 1 2 7 2 = a + --− 2⋅ ------⋅----= --a − -a = ---a √ ---12 6 2 12 2 1 2 AE = --21a. 6

Teraz już łatwo, z trójkąta prostokątnego AEF obliczymy długość wysokości F E i wtedy już łatwo obliczymy pole.

∘ ----------- ∘ ----- ∘ ---- √ -- ∘ ------------ 7 a2 4 3a2 3a F E = AE 2 − AF 2 = --a2 − ---= ---a2 = ----= ----. 12 4 1 2 9 3

Pozostało obliczyć pole.

√ -- √ --2 P = 1-⋅AC ⋅F E = 1-a⋅ --3a-= --3a-. 2 2 3 6

 
Odpowiedź: √ -2 P = --3a6-

Wersja PDF