/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 7282110

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.

PIC

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Żądany cosinus łatwo obliczyć z trójkąta prostokątnego AED :

a co s∡ α = -AE- = 2--= 1. AD 2a 4

Aby obliczyć pole przekroju potrzebujemy wyliczyć długość wysokości EF trójkąta równoramiennego ABF . Obliczony cosinus podpowiada nam jak to zrobić: stosujemy najpierw twierdzenie cosinusów w trójkącie BCF

BF 2 = BC 2 + CF 2 − 2BC ⋅CF cosα 2 2 2 2 1- 2 a-2 3a2- BF = a + a − 2a ⋅ 4 = 2a − 2 = 2 .

Teraz stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie EBF .

2 2 2 3a2- a2- 5a2- EF = BF − EB = 2 − 4 = 4 √ -- EF = a--5. 2

Zatem szukane pole przekroju jest równe

√ -- 2√ -- P = 1-AB ⋅EF = 1-⋅a⋅ a--5-= a---5. 2 2 2 4

 
Odpowiedź: Cosinus: 14 , pole: 2√- a-45 .

Wersja PDF