/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 1536503

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

(2ac + bd )(ac+ 2bd ) ≥ 9abcd

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

(2ac + bd )(ac + 2bd ) ≥ 9abcd 2a2c2 + 4abcd + abcd + 2b2d2 ≥ 9abcd 2 2 2 2 2a c − 4abcd + 2b d ≥ 0 / : 2 a2c2 − 2abcd + b2d 2 ≥ 0 (ac − bd)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF