Zadanie nr 1751585
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takich, że , spełniona jest nierówność
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny
Możemy oczywiście tę nierówność przekształcać dalej – tak zrobimy w kolejnym sposobie, ale możemy też zakończyć dowód w tym miejscu. Zauważmy, że z założenia , więc albo albo . W pierwszym przypadku oba czynniki lewej strony są dodatnie, a w drugim przypadku czynniki są ujemne. To oznacza, że otrzymana nierówność jest zawsze spełniona.
Sposób II
Tak jak poprzednio przekształcamy nierówność do postaci
ale teraz przekształcamy ją dalej – korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów.
Oczywiście , bo . Pozostało więc wykazać, że zawsze
Nierówność tę można udowodnić na różne sposoby, np. możemy na nią popatrzeć jak na nierówność kwadratową zmiennej z parametrem . Liczymy –ę.
Jeżeli , to , więc parabola będąca wykresem funkcji
znajduje się w całości powyżej osi . Jeżeli natomiast , to z założenia i wtedy
To oznacza, że faktycznie
o ile tylko .
Sposób III
Jeżeli , to , to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że . Możemy wtedy podzielić nierówność stronami przez .
Podstawiamy teraz i przekształcamy dalej.
Wystarczy teraz zauważyć, że oba czynniki tego iloczynu są dodatnie. Pierwszy jest dodatni, bo , czyli , a drugi, bo .