Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1867410

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność:

 4 3 2 x − x + 3x − 2x + 2 > 0.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

 4 3 2 4 3 2 2 x − x + 3x − 2x + 2 = (x − x + x )+ 2 (x − x+ 1) = = x2(x2 − x + 1) + 2(x2 − x + 1) = (x2 + 2)(x2 − x+ 1).

Oczywiście wyrażenie w pierwszym nawiasie jest dodatnie. Wyrażenie w drugim nawiasie też jest dodatnie, bo

Δ = 1 − 4 < 0.

Sposób II

Próbujemy zapisać lewą stronę nierówności jako sumę wyrażeń, które są nieujemne – spróbujemy pozbyć się minusów wciągając je do wyrażeń postaci (a − b)2 .

 4 3 2 x −( x + 3x − 2x)+ 2 = ( ) 4 3 1- 2 3- 2 2 1- 3- = x − x + 4x + 4 x + 2 x − x + 4 + 2 = ( ) 2 ( ) 2 2 1- 3-2 1- 3- = x x − 2 + 4x + 2 x − 2 + 2.

Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest dodatnie. Co więcej, widać, że prawdziwa jest mocniejsza nierówność

 4 3 2 3 x − x + 3x − 2x + 2 > -. 2

Sposób III

Tym razem użyjemy pochodnych. Jeżeli f(x ) = x4 − x3 + 3x2 − 2x + 2 to

f′(x) = 4x3 − 3x2 + 6x − 2 ′′ 2 2 f (x) = 1 2x − 6x + 6 = 6(2x − x+ 1).

Zauważmy, że druga pochodna jest stale dodatnia (bo Δ < 0 ), więc pierwsza pochodna jest funkcją rosnącą. Pierwsza pochodna jako wielomian stopnia 3 ma więc dokładnie jeden pierwiastek x 0 i zmienia w nim znak z ujemnego na dodatni. To oznacza, że funkcja f ma jedno minimum lokalne w x 0 , które jednocześnie jest minimum globalnym (bo na lewo od x 0 funkcja f maleje, a na prawo rośnie).

Spróbujmy teraz oszacować, ile jest równe x0 . Zauważmy, że

f′(0) = − 2 ∧ f ′(1 ) = 5

Zatem x ∈ ⟨0,1⟩ 0 . To nam trochę upraszcza sprawę, bo wiemy, że funkcja f najmniejszą wartość przyjmuje w przedziale ⟨0,1⟩ . Wystarczy zatem pokazać, że f(x ) > 0 dla x ∈ ⟨0,1⟩ . Zauważmy, że

 4 3 2 f(x) = x − x + 3x − 2x + 2 = x4 + x2 + 2x 2 − 2x 3 + 2 − 2x = x4 + x2 + 2x 2(1 − x )+ 2 (1− x).

Widać teraz, że wyrażenie to jest dodatnie na przedziale ⟨0 ,1 ⟩ .

Na koniec wykres funkcji f(x) = x4 − x3 + 3x2 − 2x + 2 .


PIC


Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!