Zadanie nr 1867410

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność:

4 3 2 x − x + 3x − 2x + 2 > 0.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

4 3 2 4 3 2 2 x − x + 3x − 2x + 2 = (x − x + x )+ 2 (x − x+ 1) = = x2(x2 − x + 1) + 2(x2 − x + 1) = (x2 + 2)(x2 − x+ 1).

Oczywiście wyrażenie w pierwszym nawiasie jest dodatnie. Wyrażenie w drugim nawiasie też jest dodatnie, bo

Δ = 1 − 4 < 0.

Sposób II

Próbujemy zapisać lewą stronę nierówności jako sumę wyrażeń, które są nieujemne – spróbujemy pozbyć się minusów wciągając je do wyrażeń postaci (a − b)2 .

4 3 2 x −( x + 3x − 2x)+ 2 = ( ) 4 3 1- 2 3- 2 2 1- 3- = x − x + 4x + 4 x + 2 x − x + 4 + 2 = ( ) 2 ( ) 2 2 1- 3-2 1- 3- = x x − 2 + 4x + 2 x − 2 + 2.

Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest dodatnie. Co więcej, widać, że prawdziwa jest mocniejsza nierówność

4 3 2 3 x − x + 3x − 2x + 2 > -. 2

Sposób III

Tym razem użyjemy pochodnych. Jeżeli f(x ) = x4 − x3 + 3x2 − 2x + 2 to

f′(x) = 4x3 − 3x2 + 6x − 2 ′′ 2 2 f (x) = 1 2x − 6x + 6 = 6(2x − x+ 1).

Zauważmy, że druga pochodna jest stale dodatnia (bo Δ < 0 ), więc pierwsza pochodna jest funkcją rosnącą. Pierwsza pochodna jako wielomian stopnia 3 ma więc dokładnie jeden pierwiastek x 0 i zmienia w nim znak z ujemnego na dodatni. To oznacza, że funkcja ma jedno minimum lokalne w x 0 , które jednocześnie jest minimum globalnym (bo na lewo od x 0 funkcja maleje, a na prawo rośnie).

Spróbujmy teraz oszacować, ile jest równe . Zauważmy, że

f′(0) = − 2 ∧ f ′(1 ) = 5

Zatem x ∈ ⟨0,1⟩ 0 . To nam trochę upraszcza sprawę, bo wiemy, że funkcja najmniejszą wartość przyjmuje w przedziale . Wystarczy zatem pokazać, że f(x ) > 0 dla . Zauważmy, że