Zadanie nr 2143751

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x 6 + y6 ≥ x4y2 + x2y4 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

2 3 2 3 4 2 2 4 (x ) + (y ) ≥ x y + x y (x2 + y2)(x4 − x2y2 + y4) ≥ x2y 2(x2 + y2).

Jeżeli x2 + y2 = 0 to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że 2 2 x + y > 0 . Możemy wtedy podzielić stronami przez i mamy

4 2 2 4 2 2 x − x y + y ≥ x y x4 − 2x2y 2 + y 4 ≥ 0 2 2 2 (x − y ) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność

x6 + y6 ≥ x 4y2 + x2y4 6 4 2 6 2 4 x − x y + y − x y ≥ 0 x4(x 2 − y 2)− y4(x 2 − y 2) ≥ 0 4 4 2 2 (x − y )(x − y ) ≥ 0 (x2 + y2)(x 2 − y2)(x 2 − y 2) ≥ 0 (x2 + y2)(x 2 − y2)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób III

Jeżeli y = 0 to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że y ⁄= 0 . Możemy wtedy podzielić nierówność stronami przez 6 y .

x6 + y6 ≥ x 4y2 + x2y4 / : y6 ( ) ( ) ( ) x 6 x 4 x 2 -- + 1 ≥ -- + -- . y y y

Podstawiamy teraz x t = y i przekształcamy dalej.

6 4 2 t + 1 ≥ t + t t6 − t4 ≥ t2 − 1 4 2 2 t (t − 1)− (t − 1) ≥ 0 (t4 − 1)(t2 − 1) ≥ 0 (t2 + 1)(t2 − 1)(t2 − 1) ≥ 0 2 2 2 (t + 1)(t − 1) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.