/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 2524039

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

6 6 1 + x--+-y--≥ x3 + y3 2
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

6 6 1 + x--+-y--≥ x3 + y3 / ⋅2 2 2 + x6 + y6 ≥ 2x 3 + 2y3 6 3 6 3 (x − 2x + 1 )+ (y − 2y + 1) ≥ 0 (x3 − 1)2 + (y3 − 1)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF