/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 4051962

Funkcja f określona jest wzorem 3 4 2 f(x ) = 4x − x − 12x + 3x + 2 dla x ∈ R . Wykaż, że

√3-- √3-- √3-- √3-- f′( 4 + 3) < f ′( 3 + 2).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Liczymy pochodną danej funkcji

′ 2 3 f (x) = 1 2x − 4x − 24x + 3.

Zauważmy teraz, że

3√ -- √3-- √3-- √3-- 4 + 3 > 3 + 2.

Wystarczy zatem udowodnić, że funkcja ′ g (x) = f (x) jest funkcją malejącą. W tym celu liczymy pochodną funkcji g (czyli drugą pochodną funkcji f ).

g′(x) = f′′(x) = 24x − 12x 2 − 24 = − 12(x2 − 2x + 2 ).

Ponieważ trójmian w nawiasie jest stale dodatni (bo Δ < 0 ), to g′(x) jest stale ujemna. To oznacza, że funkcja ′ y = g (x) = f (x) rzeczywiście jest funkcją malejącą. W szczególności

′ √3-- √3-- ′√3-- √3-- f ( 4 + 3) < f ( 3 + 2).
Wersja PDF