Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4051962

Funkcja f określona jest wzorem  3 4 2 f(x ) = 4x − x − 12x + 3x + 2 dla x ∈ R . Wykaż, że

 √3-- √3-- √3-- √3-- f′( 4 + 3) < f ′( 3 + 2).
Wersja PDF
Rozwiązanie

Liczymy pochodną danej funkcji

 ′ 2 3 f (x) = 1 2x − 4x − 24x + 3.

Zauważmy teraz, że

3√ -- √3-- √3-- √3-- 4 + 3 > 3 + 2.

Wystarczy zatem udowodnić, że funkcja  ′ g (x) = f (x) jest funkcją malejącą. W tym celu liczymy pochodną funkcji g (czyli drugą pochodną funkcji f ).

g′(x) = f′′(x) = 24x − 12x 2 − 24 = − 12(x2 − 2x + 2 ).

Ponieważ trójmian w nawiasie jest stale dodatni (bo Δ < 0 ), to g′(x) jest stale ujemna. To oznacza, że funkcja  ′ y = g (x) = f (x) rzeczywiście jest funkcją malejącą. W szczególności

 ′ √3-- √3-- ′√3-- √3-- f ( 4 + 3) < f ( 3 + 2).
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!