Zadanie nr 4569397
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
![x 4 + y 4 + x 2 + y 2 ≥ 2(x3 + y3).](https://img.zadania.info/zad/4569397/HzadT1x.gif)
Rozwiązanie
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.
![4 4 2 2 3 3 x + y + x + y ≥ 2(x + y ) (x4 − 2x3 + x2) + (y4 − 2y3 + y2) ≥ 0 2 2 2 2 x (x − 2x + 1 )+ y (y − 2y + 1) ≥ 0 x2(x − 1)2 + y2(y − 1)2 ≥ 0 .](https://img.zadania.info/zad/4569397/HzadR0x.gif)
Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.