/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 4569397

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 4 + y 4 + x 2 + y 2 ≥ 2(x3 + y3).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

4 4 2 2 3 3 x + y + x + y ≥ 2(x + y ) (x4 − 2x3 + x2) + (y4 − 2y3 + y2) ≥ 0 2 2 2 2 x (x − 2x + 1 )+ y (y − 2y + 1) ≥ 0 x2(x − 1)2 + y2(y − 1)2 ≥ 0 .

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF