Zadanie nr 5157643

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 2y2 + 3x2 + 3y2 − 12xy + 9 > 0.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 2 2 x y + 3x + 3y − 12xy + 9 > 0 3(x2 + y2 − 2xy) + (x2y 2 − 6xy + 9) > 0 2 2 3(x − y) + (xy − 3) > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia x ⁄= y ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową

f (x ) = x2(y2 + 3) − 12xy + (3y2 + 9)

zmiennej z parametrem . Ponieważ

2 2 2 2 2 2 Δ = (1 2y) − 4(3y + 9)(y + 3) = 12(1 2y − (y + 3) ) = = 1 2(12y2 − y4 − 6y2 − 9) = − 12(y 4 − 6y 2 + 9) = − 12(y2 − 3)2 ≤ 0

parabola będąca wykresem funkcji y = f(x) nigdy nie ma punktów leżących poniżej osi (dla y2 = 3 jest styczna do osi , a w pozostałych przypadkach leży w całości powyżej osi ). To oznacza, że faktycznie zawsze f (x ) ≥ 0 . Aby udowodnić ostrą nierówność zauważmy, że równość może zachodzić tylko gdy 2 y = 3 . Wtedy

2 2 2 2 f(x) = 6x − 12xy + 18 = 6(x − 2xy + y ) = 6(x− y)

i równość f(x) = 0 prowadzi do sprzeczności z założeniem x ⁄= y .

Sposób III

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 2 2 x y + 3x + 3y − 1 2xy + 9 > 0 / ⋅3 3x2y 2 + 9x 2 + 9y 2 − 36xy + 27 > 0 2 2 2 2 (9x + 9y − 18xy )+ 3(x y − 6xy + 9 ) > 0 (3x − 3y )2 + 3(xy − 3)2 > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia x ⁄= y ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób IV

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

x2y2 + 3x2 + 3y2 − 12xy + 9 > 0 2 2 (x + 3)(y + 3) > 12xy .

Zauważmy teraz, że na mocy nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy

2 ----- x--+-3- √ 2 √ -- 2 ≥ x ⋅3 = 3⋅ |x | y2 + 3 ∘ ----- √ -- -------≥ y2 ⋅3 = 3 ⋅|y|. 2

Mamy stąd

2 2 √ -- √ -- (x + 3)(y + 3) ≥ 2 3 ⋅|x|⋅ 2 3⋅|y| = 12 |xy | ≥ 12xy.

Ponadto równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy 2 2 x = y = 3 i |xy | = xy , czyli gdy √ -- x = y = ± 3 . Ponieważ z założenia x ⁄= y , mamy

(x2 + 3)(y2 + 3) > 12xy .

Sposób V

Tak jak w poprzednim sposobie przekształcamy nierówność do postaci

2 2 (x + 3)(y + 3) > 12xy .

Zauważmy teraz, że jeżeli liczby i różnią się znakiem, lub gdy jedna z nich jest zerem, to nierówność jest oczywiście spełniona (lewa strona jest zawsze dodatnia). Jeżeli natomiast obie są ujemne, to możemy zmienić znaki obu liczb i nierówność pozostanie dokładnie taka sama (dokładniej: możemy podstawić ′ x = −x i ′ y = −y i pozostanie do udowodnienia nierówność z liczbami dodatnimi i ). Możemy więc założyć, że x > 0 i y > 0 . Dzielimy wtedy nierówność stronami przez i mamy

x2 + 3 y2 + 3 ------⋅ -------> 12 ( x ) (y ) 3- 3- x + x y + y > 12.

Zauważmy teraz, że

( -- √ -) 2 √ -- √ -- x+ 3-= √ x− √-3- + 2 3 ≥ 2 3. x x

Ponadto równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy √ -- x = 3 . Analogicznie

3 √ -- y + y-≥ 2 3,

więc

( 3) ( 3) √ -- √ -- x+ -- y + -- ≥ 2 3 ⋅2 3 = 12. x y

Ponadto równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy √ -- x = y = 3 , więc przy założeniu x ⁄= y nierówność jest ostra.

Sposób VI

Tak samo jak w poprzednim sposobie zauważmy, że możemy założyć, że x > 0 i y > 0 oraz sprowadzamy nierówność do postaci

( ) ( ) x + 3- y + 3- > 12. x y

Badamy teraz przebieg zmienności funkcji f (x) = x + 3x dla x > 0 . Liczymy pochodną

2 √ -- √ -- f ′(x) = 1− 3--= x-−--3-= (x-−----3)(x+----3). x2 x2 x2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna w przedziale √ -- (0, 3 ) i dodatnia w przedziale √ -- ( 3,+ ∞ ) . To oznacza, że w √ -- x = 3 funkcja przyjmuje najmniejszą wartość i mamy