/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 5785353

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

a6 + b6 + a2 + b2 ≥ 2(a4 + b4).
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

6 6 2 2 4 4 a + b + a + b ≥ 2(a + b ) (a6 − 2a4 + a2) + (b6 − 2b4 + b2) ≥ 0 2 4 2 2 4 2 a (a − 2a + 1) + b (b − 2b + 1) ≥ 0 a 2(a 2 − 1)2 + b2(b2 − 1)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF