/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 6416633

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x > y , spełniona jest nierówność

x3 + 2xy2 > y3 + 2x 2y.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny

3 2 3 2 x + 2xy > y + 2x y (x3 − y3) − 2xy (x− y) > 0 2 2 (x − y)(x + xy + y )− 2xy(x − y) > 0 (x − y)(x 2 − xy + y2) > 0.

Ponieważ wyrażenie w pierwszym nawiasie jest dodatnie, wystarczy udowodnić, że

2 2 x − xy + y > 0.

Nierówność tę można udowodnić na różne sposoby, np. możemy na nią popatrzeć jak na nierówność kwadratową zmiennej x z parametrem y . Liczymy Δ –ę.

Δ = y2 − 4y2 = − 3y2.

Jeżeli y ⁄= 0 , to Δ < 0 , więc parabola będąca wykresem funkcji

2 2 f(x) = x − xy + y

znajduje się w całości powyżej osi Ox . Jeżeli natomiast y = 0 , to z założenia x ⁄= 0 i wtedy

x2 − xy + y2 = x2 > 0.

To oznacza, że faktycznie

x2 − xy + y2 > 0

o ile tylko x ⁄= y .

Wersja PDF