Zadanie nr 7492422
Wykaż, że dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych ,
spełniona jest nierówność:
.
Rozwiązanie
Jeżeli lub
to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że
.
Sposób I
Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Ponieważ nierówność jest jednorodna (każdy składnik jest jednomianem stopnia 3), możemy łatwo zamienić nierówność na nierówność, w której jest tylko jedna zmienna – dzielimy nierówność stronami przez .

Podstawiamy teraz i mamy

Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków lewej strony jest , więc dzielimy ten wielomian przez
.

Teraz jest jasne, że dla wielomian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne.