/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 8049923

Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x + y = 3 i nierówność

x3 + 4y3 ≤ 3x 2y .

Wykaż, że x = 2 oraz y = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Podstawiamy w danej nierówności y = 3 − x .

 3 3 2 x + 4(3 − x) ≤ 3x (3− x ) x3 + 4(27 − 2 7x+ 9x2 − x3) ≤ 9x 2 − 3x 3 27x2 − 108x + 108 ≤ 0 / : 27 2 x − 4x + 4 ≤ 0 (x − 2)2 ≤ 0.

To oczywiście oznacza, że x = 2 i y = 3 − x = 1 .

Sposób II

Jeżeli y = 0 , to x = 3− y = 3 i dana nierówność przyjmuje postać

2 7 ≤ 0.

Możemy więc założyć, że y ⁄= 0 i nierówność przekształcić następująco.

x 3 − 3x 2y+ 4y3 ≤ 0 ( 3 2 ) y 3 x--− 3 ⋅ x-+ 4 ≤ 0 y3 y2

Podstawmy teraz t = x y i popatrzmy na wielomian stopnia 3 w nawiasie

 3 2 t − 3t + 4.

Łatwo zgadnąć jeden z jego pierwiastków – jest to t = − 1 . To pozwala rozłożyć ten wielomian na czynniki.

 3 2 3 2 2 t − 3t + 4 = (t + t )− (4t + 4t) + (4t + 4) = = t2(t + 1) − 4t(t+ 1 )+ 4 (t+ 1) = = (t+ 1)(t2 − 4t+ 4) = (t+ 1)(t− 2)2.

Wróćmy teraz do całej nierówności.

y3(t+ 1)(t− 2)2 ≤ 0 ( ) ( ) 3 x- x- 2 y y + 1 y − 2 ≤ 0 (x+ y)(x − 2y)2 ≤ 0 .

Z założenia x + y = 3 > 0 , więc mamy stąd

 2 (x − 2y) ≤ 0,

co oczywiście oznacza, że x = 2y . Wtedy

3 = x + y = 2y + y = 3y ⇒ y = 1.

Stąd x = 3 − y = 2 .

Sposób III

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

 3 3 3 2 x + y + 3y − 3x y ≤ 0 (x + y)(x2 − xy + y2) + 3y (y2 − x 2) ≤ 0 2 2 (x + y)(x − xy + y ) + 3y (y− x)(y+ x) ≤ 0 / : (x + y) x2 − xy + y2 + 3y2 − 3xy ≤ 0 x2 − 4xy + 4y 2 ≤ 0 2 (x − 2y) ≤ 0.

Po drodze podzieliliśmy przez x + y – mogliśmy to zrobić, bo x+ y = 3 > 0 . Otrzymana nierówność oznacza, że x = 2y . W połączeniu z warunkiem x + y = 3 otrzymujemy stąd y = 1 i x = 2 .

Sposób IV

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny –próbujemy wyciągnąć (x + y) przed nawias.

x 3 + x 2y+ 4y3 − 4x2y ≤ 0 2 2 2 x (x+ y)+ 4y(y − x ) ≤ 0 x 2(x+ y)+ 4y(y − x)(y + x) ≤ 0 (x + y )(x2 + 4y2 − 4xy) ≤ 0 2 (x + y )(x− 2y) ≤ 0.

Zauważmy, że z założenia x+ y = 3 > 0 , więc powyższa nierówność jest równoważna nierówności

(x − 2y)2 ≤ 0,

która z kolei oznacza, że x = 2y . Mamy wtedy

3 = x + y = 3y ⇒ y = 1

i x = 3 − y = 2 .

Wersja PDF
spinner