Zadanie nr 8248003

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność x3 + y3 ≥ x2y + xy 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.

3 3 2 2 x + y ≥ x y + xy (x + y)(x2 − xy + y2) ≥ xy (x+ y).

Jeżeli x + y = 0 to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że x + y > 0 . Możemy wtedy podzielić stronami przez x + y i mamy

x2 − xy + y2 ≥ xy x2 − 2xy + y 2 ≥ 0 2 (x − y) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy daną nierówność

3 3 2 2 x + y ≥ x y+ xy x3 − x2y + y3 − xy 2 ≥ 0 2 2 x (x − y) − y (x − y ) ≥ 0 (x2 − y2)(x − y) ≥ 0 (x + y)(x − y)(x − y ) ≥ 0 (x + y)(x − y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.