Zadanie nr 8248003
Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy nierówność korzystając ze wzoru na sumę sześcianów.
![3 3 2 2 x + y ≥ x y + xy (x + y)(x2 − xy + y2) ≥ xy (x+ y).](https://img.zadania.info/zad/8248003/HzadR0x.gif)
Jeżeli to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że
. Możemy wtedy podzielić stronami przez
i mamy
![x2 − xy + y2 ≥ xy x2 − 2xy + y 2 ≥ 0 2 (x − y) ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/8248003/HzadR4x.gif)
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Przekształcamy daną nierówność
![3 3 2 2 x + y ≥ x y+ xy x3 − x2y + y3 − xy 2 ≥ 0 2 2 x (x − y) − y (x − y ) ≥ 0 (x2 − y2)(x − y) ≥ 0 (x + y)(x − y)(x − y ) ≥ 0 (x + y)(x − y)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/8248003/HzadR5x.gif)
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.