/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 8546046

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

(9x3y − 24x 2y+ 16xy )(9xy3 − 24xy 2 + 1 6xy) ≥ 0.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

3 2 3 2 (9x y− 24x y + 16xy )(9xy − 24xy + 16xy) ≥ 0 xy (9x2 − 24x + 16)xy (9y2 − 24y + 16 ) ≥ 0 2 2 2 2 x y (3x− 4) (3y − 4) ≥ 0

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF