/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 8586741

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja 3 2 f(x) = x + ax + bx+ c ma trzy różne miejsca zerowe: p,q,r . Wykaż, że

f ′(p )⋅f ′(q) ⋅f′(r) < 0.

Rozwiązanie

Wiemy, że

f(x ) = (x− p)(x − q)(x − r).

Liczymy pochodną tej funkcji korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu

(fg)′ = f ′g + f g′.

Liczymy

f ′(x ) = [(x − p )(x− q)(x − r)]′ = ′ ′ = (x− p) ⋅(x − q)(x − r) + (x − p )[(x− q)(x− r)] = = (x− q)(x− r)+ (x− p)(x − r)+ (x− p)(x − q).

Stąd

′ ′ ′ f (p )⋅f (q) ⋅f (r) = (p − q)(p − r)⋅ (q− p )(q− r)⋅(r − p)(r − q) = = − (p− q)2(q− r)2(r− p )2 < 0,

bo wiemy, że pierwiastki są różne.

Wersja PDF