Zadanie nr 8909577
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że

Widać, że jest wciąż pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie, więc wielomian ten jest podzielny przez
. Dzielimy

Mamy zatem

Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest zawsze dodatnie, a nawet jest prawdziwa nierówność

Sposób II
Próbujemy zapisać lewą stronę nierówności jako sumę wyrażeń, które są nieujemne – spróbujemy pozbyć się minusów wciągając je do wyrażeń postaci .

Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest zawsze dodatnie, a nawet jest prawdziwa nierówność

Sposób III
Tym razem użyjemy pochodnych. Jeżeli to

Aby określić znak pochodnej rozłożymy ją na czynniki. Widać, że jest pierwiastkiem, więc dzielimy pochodną przez
.

Trójmian w nawiasie jest stale dodatni, bo , więc pochodna jest ujemna na przedziale
i dodatnia na przedziale
. To oznacza, że punkcie
funkcja
ma minimum lokalne, które jest równe

Zatem rzeczywiście

Na koniec obrazek
