Zadanie nr 8909577
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
![4 2 x − x − 2x + 3 > 0.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadT1x.gif)
Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że
![4 2 4 2 2 2 x − x − 2x+ 3 = x − x − 2x + 2 + 1 = x (x − 1)− 2(x− 1)+ 1 = = x2(x − 1)(x + 1) − 2(x − 1) + 1 = (x − 1 )(x3 + x2 − 2)+ 1.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR0x.gif)
Widać, że jest wciąż pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie, więc wielomian ten jest podzielny przez
. Dzielimy
![3 2 3 2 2 2 2 x + x − 2 = x − x + 2x − 2 = x (x − 1)+ 2(x − 1) = 2 2 ( 2 ) = x (x − 1) + 2(x − 1)(x + 1) = (x − 1)(x + 2x + 2) = (x − 1) (x + 1 ) + 1 .](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR3x.gif)
Mamy zatem
![4 2 2( 2 ) x − x − 2x + 3 = (x− 1) (x+ 1) + 1 + 1.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR4x.gif)
Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest zawsze dodatnie, a nawet jest prawdziwa nierówność
![x 4 − x 2 − 2x + 3 ≥ 1.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR5x.gif)
Sposób II
Próbujemy zapisać lewą stronę nierówności jako sumę wyrażeń, które są nieujemne – spróbujemy pozbyć się minusów wciągając je do wyrażeń postaci .
![4 2 2 2 2 2 x − x − 2x + 3 = (x − 1) + 2x − 1− x − 2x + 3 = = (x2 − 1)2 + (x2 − 2x + 1) + 1 = (x 2 − 1 )2 + (x − 1 )2 + 1.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR7x.gif)
Teraz jest jasne, że wyrażenie to jest zawsze dodatnie, a nawet jest prawdziwa nierówność
![x 4 − x 2 − 2x + 3 ≥ 1.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR8x.gif)
Sposób III
Tym razem użyjemy pochodnych. Jeżeli to
![f ′(x ) = 4x3 − 2x − 2 = 2 (2x3 − x− 1).](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR10x.gif)
Aby określić znak pochodnej rozłożymy ją na czynniki. Widać, że jest pierwiastkiem, więc dzielimy pochodną przez
.
![2x3 − x − 1 = (2x 3 − 2x 2)+ (2x 2 − 2x)+ (x− 1) = (x − 1)(2x 2 + 2x + 1 ).](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR13x.gif)
Trójmian w nawiasie jest stale dodatni, bo , więc pochodna jest ujemna na przedziale
i dodatnia na przedziale
. To oznacza, że punkcie
funkcja
ma minimum lokalne, które jest równe
![f (1) = 1− 1− 2+ 3 = 1.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR19x.gif)
Zatem rzeczywiście
![f (x) ≥ f(1) = 1 > 0.](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR20x.gif)
Na koniec obrazek
![PIC](https://img.zadania.info/zad/8909577/HzadR21x.gif)