/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Wielomianowe

Zadanie nr 9665669

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x > y , spełniona jest nierówność

7x3 + 4x2y ≥ y 3 + 2xy 2 − x3.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Daną nierówność możemy zapisać w postaci

3 2 2 3 8x + 4x y− 2xy − y ≥ 0.

Sposób I

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

8x 3 + 4x 2y− 2xy2 − y3 ≥ 0 4x 2(2x+ y)− y2(2x + y) ≥ 0 2 2 (2x + y )(4x − y ) ≥ 0 (2x + y )(2x− y)(2x + y) ≥ 0 2 (2x + y ) (2x− y) ≥ 0.

Ponieważ z założenia 2x − y > 0 , otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.

8x3 + 4x2y − 2xy 2 − y3 ≥ 0 3 3 (8x − y ) + 2xy (2x− y) ≥ 0 (2x − y)(4x 2 + 2xy + y2)+ 2xy(2x − y) ≥ 0 2 2 (2x − y)(4x + 2xy + y ) ≥ 0 (2x − y)(2x + y )2 ≥ 0.

Ponieważ z założenia 2x − y > 0 , otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób III

Lewa strona nierówności, którą mamy udowodnić wygląda trochę jak wzór na sześcian różnicy – spróbujmy pójść tym tropem.

3 2 2 3 8x + 4x y − 2xy − y ≥ 0 (8x3 − 12x 2y + 6xy 2 − y3)+ 16x2y − 8xy 2 ≥ 0 (2x − y)3 + 8xy (2x− y) ≥ 0 2 (2x − y)((2x − y ) + 8xy ) ≥ 0 (2x − y)(4x 2 + 4xy + y2) ≥ 0 2 (2x − y)(2x + y ) ≥ 0.

Ponieważ z założenia 2x − y > 0 , otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Wersja PDF