Zadanie nr 9665669
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej i dla każdej liczby rzeczywistej takich, że , spełniona jest nierówność
Rozwiązanie
Daną nierówność możemy zapisać w postaci
Sposób I
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
Ponieważ z założenia , otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny.
Ponieważ z założenia , otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób III
Lewa strona nierówności, którą mamy udowodnić wygląda trochę jak wzór na sześcian różnicy – spróbujmy pójść tym tropem.
Ponieważ z założenia , otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.