/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny/Dany przez kolejne wyrazy

Zadanie nr 2609277

Pierwszy wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (an) jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piątego równy jest 15. Oblicz różnicę ciągu (an) oraz sumę 14 jego początkowych wyrazów.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego to an = a1 + (n− 1)r . W szczególności a4 = 3 + 3r i a 5 = 3+ 4r . Otrzymujemy zatem równanie

a4a5 = 15 (3+ 3r)(3+ 4r) = 15 / : 3 (1+ r)(3+ 4r) = 5 3+ 7r+ 4r2 = 5 2 4r + 7r− 2 = 0.

Liczymy Δ = 49 + 32 = 81 = 92 . Stąd

r1 = −-7−--9 = − 2 8 −-7+--9 1- r2 = 8 = 4.

Ponieważ ciąg ma być malejący, r musi być ujemne. Zatem r = − 2 .

Aby obliczyć sumę 14 początkowych wyrazów, korzystamy ze wzoru

a-1 +-an Sn = 2 ⋅n .

W naszej sytuacji

3 + (3 + 13(− 2)) − 20 S14 = ------------------⋅14 = -----⋅14 = − 14 0. 2 2

 
Odpowiedź: Różnica: − 2 , suma: − 140 .

Wersja PDF