Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3383838

Trzy początkowe wyrazy malejącego ciągu arytmetycznego są pierwiastkami wielomianu  √ -- √ -- W (x) = x3 − 3 2x2 + 5x − 2 , a jednym z nich jest √ -- 2 .

  • Znajdź pierwszy wyraz tego ciągu.
  • Oblicz sumę a50 + a51 + a 52 + ⋅⋅⋅+ a100 .
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Skoro wiemy, że √ -- 2 jest pierwiastkiem wielomianu W (x ) , to dzielimy go przez  √ -- (x − 2) . My wykonamy to dzielenie grupując wyrazy
     3 √ -- 2 √ -- x − 3√ -2x +√5x-− 2 =√-- √ -- x3 − 2x 2 + 2x 2 − 3 2x2 + 5x − 2 = √ -- √ -- √ -- x2(x − 2 )− 2 2x2 + 4x − 4x + 5x − 2 = 2 √ -- √ -- √ -- √ -- x (x −√ --2 )− 2 √ 2x(x − 2) + x − 2 = (x − 2)(x 2 − 2 2x + 1)

    Pozostało znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego w nawiasie. Liczymy Δ = 8 − 4 = 4 , skąd pierwiastki to

    2√ 2-− 2 √ -- ---------= 2− 1 √ -2 2 2 + 2 √ -- ---------= 2+ 1. 2

    Mamy zatem

     √ -- a1 = √ 2+ 1 a2 = 2 √ -- a3 = 2− 1

     
    Odpowiedź:  √ -- a1 = 2 + 1

  • Z poprzedniego podpunktu wiemy, że
    a = √ 2+ 1+ (n − 1)⋅ (− 1) = √ 2+ 2− n. n

    Szukana suma to suma 51 wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie  √ -- a 50 = 2− 48 i różnicy − 1 . Zatem

     √ -- √ -- √ -- S = (--2-−-48)-+-(--2-−-98)-⋅51 = 51( 2 − 73). 2

    Mogliśmy też obliczyć szukaną sumę jako S 100 − S 49 dla wyjściowego ciągu.  
    Odpowiedź:  √ -- 51( 2 − 73)

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!