Dany jest ciąg arytmetyczny a_n w którym a_3=15 oraz a_{11}=-17.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dany przez kolejne wyrazy, 9585335

Forum

Arytmetyczny

Zadanie nr 9585335

Dany jest ciąg arytmetyczny $an$ w którym $a3 = 15$ oraz $a11 = − 1 7$ .

Dla jakich $n$ zachodzi równość $7an = a1 + a2 + a3 + ...+ an− 1$ ?
Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych, ujemnych wyrazów ciągu $an$ , które są podzielne przez 3.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw wzór na wyraz ogólny ciągu. Mamy układ równań ${ a + 2r = 15 1 a1 + 10r = − 17$
Odejmując od pierwszego równania drugie, mamy $− 8r = 32$ , skąd $r = − 4$ i $a1 = 23$ .
Musimy zatem rozwiązać równanie
$a + a 7an = -1----n−1-⋅(n − 1) 2 23+--23-+-(n-−-2)(−-4)- 7(23 + (n − 1)(− 4)) = 2 ⋅(n − 1) 7(27 − 4n ) = (27− 2n) ⋅(n − 1) 189 − 28n = − 27 + 29n − 2n 2 2 2n − 57n + 216 = 0 Δ = 3249 − 1728 = 1521 = 392 n = 57−--39-= 9- ∨ n = 57-+-39-= 24 4 2 4$
Zatem $n = 24$ .
Odpowiedź: $n = 24$
Wyraz ogólny ciągu to $an = 23 + (n − 1)(− 4) = 27− 4n$ . Widać stąd, że wyrazy ujemne to wyrazy dla $n ≥ 7$ . Ponieważ 27 dzieli się przez 3, to $an$ dzieli się przez 3 wtedy i tylko wtedy gdy $n$ dzieli się przez 3, tzn. $n = 3k$ . Musimy zatem obliczyć $a9 + a12 + ...+ a3⋅52.$
Liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $3⋅(− 4) = − 12$ . Mamy zatem
$S = a9 +-a156-⋅50 = (− 9− 5 97)⋅2 5 = − 15150 . 2$

Odpowiedź: -15150

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!