/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 3460705

Dany jest graniastosłup prosty ABCDEF GH , którego podstawą jest prostokąt ABCD . W tym graniastosłupie |BD | = 15 , a ponadto |CD | = 3 + |BC | oraz |∡CDG | = 60∘ (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy AB = CD = a , to BC = CD − 3 = a − 3 . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie BCD .

2 2 2 BC + CD = BD (a− 3)2 + a2 = 152 2a2 − 6a − 21 6 = 0 / : 2 2 a − 3a − 10 8 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 Δ = 9 + 43 2 = 441 = 21 3−--21- 3+--21- a = 2 < 0 lub a = 2 = 1 2.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy a = 12 oraz BC = a − 3 = 9 .

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny CDG .

CG-- ∘ CD = tg60 ∘ √ -- CG = CD ⋅tg 60 = 12 3.

Obliczamy teraz objętość graniastosłupa.

√ -- √ -- V = PABCD ⋅CG = 12 ⋅9⋅ 12 3 = 12 96 3.

Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej.

Pb = 2 (PABEF + PBCGF ) = √ -- √ -- √ -- √ -- = 2 (12⋅1 2 3+ 9⋅1 2 3) = 2 ⋅252 3 = 504 3.

 
Odpowiedź: √ -- V = 129 6 3 , √ -- P = 504 3 b

Wersja PDF