Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4742975

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny  ′ ′ ′ ′ ABCDA B C D o podstawach ABCD i A ′B ′C ′D ′ , oraz krawędziach bocznych AA ′,BB ′,CC ′ i DD ′ . Oblicz pole trójkąta BDC ′ wiedząc, że przekątna ściany bocznej ma długość 13 i jest nachylona do podstawy pod takim kątem α , że  12 tg α = 5 .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Z podanego tangensa i długości przekątnej ściany obliczymy długości krawędzi a i b graniastosłupa. Na mocy twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BCC ′ mamy

 ∘ --------- ∘ --------- b = 132 − a2 = 169 − a2.

Teraz korzystamy z podanego tangensa.

 b- tgα = a √ -------2- 12-= --169-−-a-- 5 ∘ -a------- 1 2a = 5 1 69− a2 / ()2 1 44a2 = 25 ⋅169 − 25a 2 2 1 69a = 25 ⋅169 / : 169 a 2 = 25 ⇒ a = 5 .

Zatem  √ --------2 b = 16 9− a = 12 .

Znamy więc długość podstawy trójkąta równoramiennego  ′ BDC :

 √ -- √ -- BD = a 2 = 5 2.

Wysokość tego trójkąta obliczamy patrząc na trójkąt prostokątny  ′ ECC .

 ┌│ (--√--)-2------ ′ ∘ -------------- │∘ a 2 EC = EC 2 + (CC ′)2 = ----- + b2 = 2 ∘ --------- ∘ ---- = 25-+ 144 = 31-3. 2 2

Zatem interesujące nas pole trójkąta  ′ BDC jest równe

 -- ∘ ---- ---- P ′ = 1-⋅BD ⋅EC ′ = 1-⋅5√ 2 ⋅ 313-= 5√ 313. BDC 2 2 2 2

 
Odpowiedź:  √ ---- 5 3 13 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!