/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 6076802

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej a i wysokości trzy razy dłuższej od podstawy, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem miary α ∈ ( 0, π⟩ 2 . Oblicz pole otrzymanego przekroju. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Z obrazka widać, że w zależności od miary kąta α , otrzymany przekrój może być trójkątem równoramiennym, trapezem lub prostokątem.

Od razu załatwmy przypadek prostokąta (czyli przypadek α = π- 2 ). Pole tego prostokąta jest równe

√ -- √ -- 2 P = AC ⋅AE = a 2 ⋅3a = 3 2a .

Łatwo też jest w przypadku trójkąta równoramiennego. Jego podstaw ma długość √ -- AC = a 2 , a wysokość DS możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego DSB .

√ -- SB SB a 2 DS--= cosα ⇒ DS = co-sα = 2co-sα-.

Pole trójkąta jest więc równe

√ -- 1 1 √ -- a 2 a2 P = -AC ⋅DS = --⋅a 2⋅ -------= -------. 2 2 2co sα 2co sα

Zauważmy jeszcze, że ten przypadek będzie zachodził, o ile

BD-- 3a-- -6-- √ -- tg α = SB ≤ a√2-= √ --= 3 2. 2 2

No i został najciekawszy przypadek, gdy przekrój jest trapezem równoramiennym. Dolna podstawa tego trapezu to √ -- AC = a 2 . Aby obliczyć jego wysokość DS oznaczmy przez H rzut punktu D na podstawę graniastosłupa. W trójkącie SHD mamy

DH-- DH--- -3a-- SD = sin α ⇒ SD = sin α = sin α .

Aby obliczyć długość górnej podstawy trapezu zauważmy, że trójkąt EGF jest połówką kwadratu, więc

EF = 2DG = 2HB = 2(SB − SH ).

Ponadto

DH-- DH-- 3a-- SH = tg α ⇒ SH = tg α = tg α.

Mamy zatem

√ -- -6a- EF = 2(SB − SH ) = a 2− tgα .

Pole trapezu jest więc równe

√ -- √ -- -6a P = AC--+--EF-⋅SD = a--2-+-a--2-−-tgα-⋅ -3a-- 2 2 sin α a √ 2tg α− 3a 3a 3a2√ 2-tgα − 9a 2 = -------------- ⋅-----= -----------------. tg α sinα tgα sinα

 
Odpowiedź: ( 2 √ -- || 2acosα dla 0 < tgα ≤ 3 2 { 3a2√ 2tg α−9a2 √ -- π | -√tgαsinα--- dla tgα > 3 2 i α <-2 |( 3 2a2 dla α = π- 2

Wersja PDF