Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6403788

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej a i wysokości dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem miary α ∈ (0, π-⟩ 2 . Oblicz pole otrzymanego przekroju. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Z obrazka widać, że w zależności od miary kąta α , otrzymany przekrój może być trójkątem równoramiennym, trapezem lub prostokątem.

Od razu załatwmy przypadek prostokąta (czyli przypadek α = π- 2 ). Pole tego prostokąta jest równe

 √ -- √ -- 2 P = AC ⋅AE = a 2 ⋅2a = 2 2a .

Łatwo też jest w przypadku trójkąta równoramiennego. Jego podstaw ma długość  √ -- AC = a 2 , a wysokość DS możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego DSB .

 √ -- SB SB a 2 DS--= cosα ⇒ DS = co-sα = 2co-sα-.

Pole trójkąta jest więc równe

 √ -- 1 1 √ -- a 2 a2 P = -AC ⋅DS = --⋅a 2⋅ -------= -------. 2 2 2co sα 2co sα

Zauważmy jeszcze, że ten przypadek będzie zachodził, o ile

 BD-- 2a-- -4-- √ -- tg α = SB ≤ a√2-= √ --= 2 2. 2 2

No i został najciekawszy przypadek, gdy przekrój jest trapezem równoramiennym. Dolna podstawa tego trapezu to  √ -- AC = a 2 . Aby obliczyć jego wysokość DS oznaczmy przez H rzut punktu D na podstawę graniastosłupa. W trójkącie SHD mamy

DH-- DH--- -2a-- SD = sin α ⇒ SD = sin α = sin α .

Aby obliczyć długość górnej podstawy trapezu zauważmy, że trójkąt EGF jest połówką kwadratu, więc

EF = 2DG = 2HB = 2(SB − SH ).

Ponadto

DH-- DH-- 2a-- SH = tg α ⇒ SH = tg α = tg α.

Mamy zatem

 √ -- 4a EF = 2(SB − SH ) = a 2− tgα-.

Pole trapezu jest więc równe

 √ -- √ -- -4a P = AC--+--EF-⋅SD = a--2-+-a--2-−-tgα-⋅ -2a-- 2 2 sin α a √ 2tg α− 2a 2a 2a2√ 2-tgα − 4a 2 = -------------- ⋅-----= -----------------. tg α sinα tgα sinα

 
Odpowiedź: ( 2 √ -- || 2acosα dla 0 < tgα ≤ 2 2 { 2a2√ 2tg α−4a2 √ -- π | -√tgαsinα--- dla tgα > 2 2 i α <-2 |( 2 2a2 dla α = π- 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!