Zadanie nr 6498757
W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Wiadomo, że
. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Z rysunku widać, że łatwo wyliczyć wysokość graniastosłupa:
![BC--= sin α AC H- m- m = 0,2 ⇒ H = 0 ,2m = 5 .](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR1x.gif)
Pozostało wyliczyć krawędź podstawy.
Sposób I
Obliczamy z jedynki trygonometrycznej.
![∘ ---------- ∘ --------- ∘ ------- √ --- √ -- cos α = 1− sin2 α = 1− 0 ,22 = 1 − -1- = --24-= 2--6- 2 5 5 5](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR4x.gif)
Mamy więc
![AB AC--= cosα √ -- √ -- √ -- a--2-= 2--6- ⇒ a = 2--3m--. m 5 5](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR5x.gif)
Zatem objętość graniastosłupa jest równa
![2 12m-2- m- 12m-3- V = a ⋅H = 25 ⋅ 5 = 125 .](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR6x.gif)
Sposób II
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .
![∘ --------- √ --- √ -- ∘ ------------ m 2 24m 2 6m AB = AC 2 − BC 2 = m 2 − --- = ------- = -------. 25 5 5](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR8x.gif)
Stąd
![-- -- √ -- 2√ 6m 2√ 3m a 2 = ------- ⇒ a = ------- 5 5](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR9x.gif)
i objętość graniastosłupa jest równa
![12m 2 m 12m 3 V = a2 ⋅H = -----⋅ -- = ------. 25 5 125](https://img.zadania.info/zad/6498757/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: