/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 6498757

W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α . Wiadomo, że sin α = 0,2 . Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Z rysunku widać, że łatwo wyliczyć wysokość graniastosłupa:

BC--= sin α AC H- m- m = 0,2 ⇒ H = 0 ,2m = 5 .

Pozostało wyliczyć krawędź a podstawy.

Sposób I

Obliczamy cosα z jedynki trygonometrycznej.

∘ ---------- ∘ --------- ∘ ------- √ --- √ -- cos α = 1− sin2 α = 1− 0 ,22 = 1 − -1- = --24-= 2--6- 2 5 5 5

Mamy więc

AB AC--= cosα √ -- √ -- √ -- a--2-= 2--6- ⇒ a = 2--3m--. m 5 5

Zatem objętość graniastosłupa jest równa

2 12m-2- m- 12m-3- V = a ⋅H = 25 ⋅ 5 = 125 .

Sposób II

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC .

∘ --------- √ --- √ -- ∘ ------------ m 2 24m 2 6m AB = AC 2 − BC 2 = m 2 − --- = ------- = -------. 25 5 5

Stąd

-- -- √ -- 2√ 6m 2√ 3m a 2 = ------- ⇒ a = ------- 5 5

i objętość graniastosłupa jest równa

12m 2 m 12m 3 V = a2 ⋅H = -----⋅ -- = ------. 25 5 125

 
Odpowiedź: 12m3 V = -125

Wersja PDF