/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 6753013

W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości 5 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że sinα = 15 . Wyznacz objętość tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Z rysunku widać, że łatwo obliczyć wysokość graniastosłupa:

BC--= sinα AC H- 1- 5 = 5 ⇒ H = 1 .

Pozostało obliczyć krawędź a podstawy.

Sposób I

Obliczamy cosα z jedynki trygonometrycznej.

∘ ----(---)- ∘ ------- √ --- √ -- ∘ -------2-- 1 2 1 24 2 6 cos α = 1 − sin α = 1 − 5- = 1− 25-= --5--= -5--.

Mamy więc

AB--= cos α AC -- a√ 2 2√ 6- √ -- -----= ----- ⇒ a = 2 3. 5 5

Zatem objętość graniastosłupa jest równa

V = a 2 ⋅H = 12 ⋅1 = 12.

Sposób II

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC .

∘ ------------ ∘ ------- √ ------- √ --- √ -- AB = AC 2 − BC 2 = 52 − 1 = 2 5− 1 = 24 = 2 6.

Stąd

√ -- √ -- √ -- 2 6 √ -- a 2 = 2 6 ⇒ a = -√---= 2 3 2

i objętość graniastosłupa jest równa

2 V = a ⋅H = 12 ⋅1 = 12.

 
Odpowiedź: 12

Wersja PDF