/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 6785161

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 35 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- AC = a 2.

Z podanego cosinusa kąta α między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną podstawy mamy

√ -- √ -- 3 AC a 2 √ -- 5 5 2 --= cosα = ----= ----- ⇒ EC = a 2 ⋅--= ----a. 5 EC EC 3 3

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACE .

AC 2 + AE 2 = EC 2 2a2 + 256 = 50a2 9 32-2 -9- 256 = 9 a / ⋅32 2 √ -- √ -- a = 8 ⋅9 ⇒ a = 3 8 = 6 2.

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

√ -- P = 2PABCD + 4PABFE = 2a2 + 4⋅a ⋅16 = 1 44+ 384 2.

 
Odpowiedź: √ -- Pc = 1 44+ 384 2

Wersja PDF