Zadanie nr 7146780
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem
(zobacz rysunek).
Oblicz cosinus kąta oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy przez długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez
jego wysokość, to wiemy, że
![a-= 1- ⇒ h = 4a. h 4](https://img.zadania.info/zad/7146780/HzadR2x.png)
Jak się okazuje nic więcej nam nie potrzeba do obliczenia .
Liczymy
![√ -- AB = a 2 ∘ ------------ ∘ --------- ∘ ----------- √ --- BC = AB 2 + AC 2 = 2a 2 + h 2 = 2a2 + 16a2 = a 18 AB a√ 2- 1 1 cos α = ----= -√---- = √---= -. BC a 18 9 3](https://img.zadania.info/zad/7146780/HzadR5x.png)
Z polem powierzchni całkowitej nie będzie już tak łatwo – obliczmy najpierw . Korzystamy z podanej informacji o objętości graniastosłupa.
![2 2 3 108 = a ⋅h = a ⋅4a = 4a / : 4 27 = a3 ⇒ a = 3.](https://img.zadania.info/zad/7146780/HzadR7x.png)
Stąd
![Pc = 2a2 + 4ah = 2a 2 + 16a 2 = 18a2 = 18 ⋅9 = 162.](https://img.zadania.info/zad/7146780/HzadR8x.png)
Odpowiedź: ,