/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 7146780

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej 108 stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy 14 . Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem α (zobacz rysunek).


ZINFO-FIGURE


Oblicz cosinus kąta α oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez h jego wysokość, to wiemy, że

a-= 1- ⇒ h = 4a. h 4

Jak się okazuje nic więcej nam nie potrzeba do obliczenia cosα .


ZINFO-FIGURE


Liczymy

 √ -- AB = a 2 ∘ ------------ ∘ --------- ∘ ----------- √ --- BC = AB 2 + AC 2 = 2a 2 + h 2 = 2a2 + 16a2 = a 18 AB a√ 2- 1 1 cos α = ----= -√---- = √---= -. BC a 18 9 3

Z polem powierzchni całkowitej nie będzie już tak łatwo – obliczmy najpierw a . Korzystamy z podanej informacji o objętości graniastosłupa.

 2 2 3 108 = a ⋅h = a ⋅4a = 4a / : 4 27 = a3 ⇒ a = 3.

Stąd

Pc = 2a2 + 4ah = 2a 2 + 16a 2 = 18a2 = 18 ⋅9 = 162.

 
Odpowiedź: cosα = 1 3 , Pc = 162

Wersja PDF
spinner