/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 8600637

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 18. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 0,8. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu mamy

√ -- AC = a 2.

Z podanego cosinusa kąta α między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną podstawy mamy

√ -- √ -- 4 AC a 2 √ -- 5 5 2 --= cosα = ----= ----- ⇒ EC = a 2 ⋅--= ----a. 5 EC EC 4 4

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACE .

AC 2 + AE 2 = EC 2 2a2 + 324 = 50a2 16 18-2 16- 324 = 16a / ⋅ 18 2 √ --- √ -- a = 18 ⋅16 ⇒ a = 4 18 = 12 2.

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

√ -- P = 2PABCD + 4PABFE = 2a2 + 4⋅a ⋅18 = 5 76+ 864 2.

 
Odpowiedź: √ -- Pc = 5 76+ 864 2

Wersja PDF