/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 8765577

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez jeden punkt z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym α . Wyznacz co sβ , gdzie β jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku. Graniastosłup prawidłowy czworokątny to po prostu prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat – oznaczmy jego bok przez a .

PIC

Aby wyliczyć cosβ potrzebujemy wyliczyć długości odcinków AS i AR . Ten drugi to po prostu √- -2a 2 (połowa przekątnej kwadratu), zajmijmy się więc wyliczeniem AS . Zauważmy, że SP jest również połową przekątnej kwadratu, więc z trójkąta prostokątnego AP S mamy

AS α ----= ctg -- SP 2 √ -- α α 2 α AS = SP ctg 2-= AR ctg 2-= -2-a ctg 2-.

Mamy zatem

√ - AR --2a α cos β = ---- = -√--2-----= tg -- AS 22a ctg α2 2

Oczywiście, jak już wiemy co ma wyjść, to całe te rachunki mogliśmy zapisać prościej

AR SP α cosβ = AS--= AS--= tg 2-.

 
Odpowiedź: α cosβ = tg 2

Wersja PDF