/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 9215107

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEF GH połączono punkty będące środkami krawędzi BC , CD , AD i GH . Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że √ -- |DB | = 5 2 i kąt DBH ma miarę 6 0∘ .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez h jego wysokość.

PIC

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i mamy

√ -- √ -- 5 2 = DB = a 2 ⇒ a = 5.

Z trójkąta prostokątnego DBH obliczamy wysokość graniastosłupa.

DH ---- = tg ∡DBH DB -h--- √ -- √ -- a√ 2-= 3 ⇒ h = 5 6.

Zauważmy teraz, że ostrosłup, którego objętość mamy obliczyć ma wysokość równą h , a w podstawie ma trójkąt o podstawie a i wysokości opuszczonej na tę podstawę długości a 2 . Objętość tego ostrosłupa jest więc równa

√ -- 1- 1- a- -1- √ -- 125---6 V = 3 ⋅ 2 ⋅a⋅ 2 ⋅h = 12 ⋅2 5⋅5 6 = 12 .

 
Odpowiedź: √- V = 125-6 12

Wersja PDF