/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy czworokątny

Zadanie nr 9636220

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego sinus jest równy 45 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.


PIC


Z podanego pola podstawy wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku 4. Przekątna tego kwadratu ma więc długość  √ -- AC = 4 2 .

Oznaczmy przez h długość wysokości graniastosłupa. Z podanego sinusa kąta α między przekątną graniastosłupa, a płaszczyzną podstawy mamy

4 AE h 5 --= sin α = ---- = ---- ⇒ EC = --h. 5 EC EC 4

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACE .

 2 2 2 AC + AE = EC 2 25-2 32 + h = 16h 9 16 32 = --h 2 / ⋅--- 16 9 √ -- 2 16- √ --- 4- 16--2- h = 3 2⋅ 9 ⇒ h = 32⋅ 3 = 3 .

Pozostało obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

 √ -- 2 256--2- P = 2PABCD + 4PABFE = 2a + 4 ⋅a ⋅h = 32 + 3 .

 
Odpowiedź:  √ - P = 3 2+ 256--2 c 3

Wersja PDF
spinner