Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9760663

Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równy 60 ∘ . Krawędź podstawy ma długość 12. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu i kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy prostopadłościanu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Ponieważ podstawą jest kwadrat, więc ścianami bocznymi są identyczne prostokąty. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej c

 ∘ ---------- √ -- c = 122 + 122 = 1 2 2.

Przekątne dwóch sąsiadujących ścian są sobie równe, więc trójkąt ABC jest równoramienny. Zatem stosując funkcje trygonometryczne możemy obliczyć długość d

 1 sin 30∘ = -2c d ----c---- √ -- d = 2 sin30 ∘ = 12 2 .

Mogliśmy też długość odcinka d obliczyć szybciej: wystarczyło zauważyć, że trójkąt ACB jest równoramienny z kątem między ramionami równym 60 ∘ . Jest to więc trójkąt równoboczny i

 √ -- d = c = 12 2.

Zatem nasz prostopadłościan jest sześcianem o krawędzi równej 12. Teraz już łatwo obliczyć pole całkowite

Pc = 6Pp = 6⋅ 12⋅ 12 = 864.

Ponieważ d jest przekątną kwadratu, więc kąt między nią, a podstawą jest równy

α = 45 ∘.

 
Odpowiedź: Pc = 8 64 i 45∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!