Zadanie nr 2786217

Wielomian 3 2 W (x) = x − x + px + q można dwukrotnie podzielić bez reszty przez dwumian (x + 2) . Oblicz i .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli wielomian dzieli się przez (x + 2) , to znaczy, że x = − 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

0 = W (− 2) = − 8− 4− 2p + q ⇒ q = 12+ 2p.

Wielomian W (x ) ma więc postać

3 2 W (x) = x − x + px + 12 + 2p.

Dzielimy go teraz przez (x+ 2) . My jak zawsze zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 x − x + px + 12 + 2p = (x + 2x ) − (3x + 6x )+ ((p + 6 )x+ 2(p + 6)) = = x2(x + 2) − 3x (x+ 2)+ (p + 6)(x + 2) = = (x + 2)(x2 − 3x + (p + 6 )).

Wiemy, że otrzymany w drugim nawiasie wielomian też dzieli się przez (x + 2) , więc x = − 2 jest jego pierwiastkiem. To pozwala obliczyć .

0 = 4+ 6+ p+ 6 ⇒ p = − 16.

Stąd

q = 12 + 2p = 12 − 32 = − 20 .

Sposób II

Wiemy, że wielomian W (x) dzieli się przez 2 (x + 2 ) , czyli x = −2 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu W (x) . To oznacza, że x = − 2 jest zarówno pierwiastkiem wielomianu , jak i jego pochodnej

W ′(x) = 3x2 − 2x + p .

Łatwo to uzasadnić zapisując wielomian w postaci

2 W (x ) = (x + 2) ⋅ Q(x )

i licząc pochodną prawej strony ze wzoru na pochodną iloczynu

[ ] W ′(x) = 2(x + 2)Q (x) + (x + 2)2Q ′(x ) = (x+ 2) 2Q (x) + (x + 2)Q ′(x) .

Mamy zatem

0 = W ′(−2 ) = 12 + 4+ p ⇒ p = − 16.

Stąd

W (x) = x3 − x2 − 16x + q

0 = W (−2 ) = − 8− 4+ 32+ q ⇒ q = − 20.

Sposób III

Z informacji podanych w treści zadania wynika, że wielomian W (x) dzieli się przez (x+ 2)2 . Ponieważ jest wielomianem trzeciego stopnia i współczynnik przy 3 x jest równy 1 oznacza to, że