Zadanie nr 2786217
Wielomian można dwukrotnie podzielić bez reszty przez dwumian
. Oblicz
i
.
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli wielomian dzieli się przez , to znaczy, że
jest pierwiastkiem tego wielomianu.
![0 = W (− 2) = − 8− 4− 2p + q ⇒ q = 12+ 2p.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR2x.png)
Wielomian ma więc postać
![3 2 W (x) = x − x + px + 12 + 2p.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR4x.png)
Dzielimy go teraz przez . My jak zawsze zrobimy to grupując wyrazy.
![3 2 3 2 2 x − x + px + 12 + 2p = (x + 2x ) − (3x + 6x )+ ((p + 6 )x+ 2(p + 6)) = = x2(x + 2) − 3x (x+ 2)+ (p + 6)(x + 2) = = (x + 2)(x2 − 3x + (p + 6 )).](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR6x.png)
Wiemy, że otrzymany w drugim nawiasie wielomian też dzieli się przez , więc
jest jego pierwiastkiem. To pozwala obliczyć
.
![0 = 4+ 6+ p+ 6 ⇒ p = − 16.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR10x.png)
Stąd
![q = 12 + 2p = 12 − 32 = − 20 .](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR11x.png)
Sposób II
Wiemy, że wielomian dzieli się przez
, czyli
jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu
. To oznacza, że
jest zarówno pierwiastkiem wielomianu
, jak i jego pochodnej
![W ′(x) = 3x2 − 2x + p .](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR18x.png)
Łatwo to uzasadnić zapisując wielomian w postaci
![2 W (x ) = (x + 2) ⋅ Q(x )](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR20x.png)
i licząc pochodną prawej strony ze wzoru na pochodną iloczynu
![[ ] W ′(x) = 2(x + 2)Q (x) + (x + 2)2Q ′(x ) = (x+ 2) 2Q (x) + (x + 2)Q ′(x) .](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR21x.png)
Mamy zatem
![0 = W ′(−2 ) = 12 + 4+ p ⇒ p = − 16.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR22x.png)
Stąd
![W (x) = x3 − x2 − 16x + q](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR23x.png)
i
![0 = W (−2 ) = − 8− 4+ 32+ q ⇒ q = − 20.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR24x.png)
Sposób III
Z informacji podanych w treści zadania wynika, że wielomian dzieli się przez
. Ponieważ
jest wielomianem trzeciego stopnia i współczynnik przy
jest równy 1 oznacza to, że
![2 2 W (x) = (x+ 2) (x− a) = (x + 4x + 4)(x − a) = = x3 + (4− a)x2 + (4− 4a)x− 4a.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR29x.png)
dla pewnej liczby . Mamy zatem
![x 3 − x 2 + px + q = x3 + (4 − a)x2 + (4 − 4a)x − 4a](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR31x.png)
i
![( | − 1 = 4 − a { | p = 4− 4a ( q = − 4a .](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR32x.png)
Z pierwszego równania mamy . Wtedy z dwóch pozostałych
i
.
Sposób IV
Korzystamy ze wzorów Viète’a
![( b |{ x1 + x2 + x3 = − a x1x 2 + x 2x3 + x3x1 = ca |( x x x = − d 1 2 3 a](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR36x.png)
dla wielomianu
![W (x) = ax3 + bx 2 + cx + d](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR37x.png)
stopnia 3. W naszej sytuacji mamy
![( | (− 2)+ (− 2 )+ x 3 = 1 { | 4− 2x3 − 2x3 = p ( 4x3 = −q .](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR38x.png)
Z pierwszego równania mamy
![x 3 = 1+ 4 = 5.](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR39x.png)
Wtedy z pozostałych dwóch równań
![p = 4 − 4x 3 = 4− 20 = − 16 q = − 4x = − 20. 3](https://img.zadania.info/zad/2786217/HzadR40x.png)
Odpowiedź: