/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Dzielenie z resztą/Przez stopnia 2

Zadanie nr 5916002

Wielomian 3 2 W (x) = x + bx + cx− 6 jest podzielny przez trójmian kwadratowy x2 + x − 2 . Wyznacz współczynniki b i c wielomianu W (x) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozłóżmy podany trójmian kwadratowy na czynniki.

2 x + x − 2 = 0 Δ = 1+ 8 = 9 − 1− 3 − 1+ 3 x = -------= − 2 ∨ x = ------- = 1. 2 2

Zatem 2 x + x − 2 = (x − 1)(x + 2) .

Jeżeli dany wielomian trzeciego stopnia ma się dzielić przez (x − 1)(x + 2) to musi się jednocześnie dzielić przez (x − 1) i (x + 2 ) , a to oznacza, że liczby 1 i − 2 muszą być jego pierwiastkami. Daje to nam układ równań

{ { { 0 = 1 + b + c − 6 b+ c = 5 b + c = 5 ⇐ ⇒ ⇐ ⇒ 0 = − 8 + 4b − 2c − 6 4b − 2c = 14 2b − c = 7

Dodając równania stronami (żeby zredukować c ) mamy 3b = 12 , czyli b = 4 . Stąd c = 5 − b = 1 .  
Odpowiedź: (b,c) = (4,1 )

Wersja PDF