Zadanie nr 7260978
Dany jest wielomian stopnia
, którego suma wszystkich współczynników jest równa 4, a suma współczynników przy potęgach o wykładnikach nieparzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach o wykładnikach parzystych. Wykaż, że reszta
z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
jest równa
.
Rozwiązanie
Suma współczynników wielomianu

to po prostu wartość . Ponadto, z informacji o sumach współczynników przy potęgach parzystych i nieparzystych wynika, że
. Wiemy zatem, że

Reszta z dzielenia przez przez wielomian
stopnia 2 jest wielomianem stopnia 1, więc ma postać
. Mamy zatem równość

dla pewnego wielomianu . Podstawiając w tej równości
i
otrzymujemy

Dodając równania tego układu stronami mamy . Stąd
, co dowodzi, że
.