Zadanie nr 9765655
Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian
jest równa
. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
przez wielomian
.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że
![3 2 2 W (x ) = (x + 2x − x − 2)Q (x) + x + x + 1.](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR0x.gif)
Oznaczmy szukanę resztę przez , tzn.
![2 ′ W (x) = (x − 1)Q (x) + ax + b.](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR2x.gif)
(jeżeli ktoś nie wie dlaczego jest liniowa, to niech zajrzy do poradnika).
Mamy zatem
![(x 3 + 2x 2 − x− 2)Q (x)+ x2 + x+ 1 = (x2 − 1)Q ′(x)+ ax+ b.](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR3x.gif)
Wstawiamy teraz w tej równości i
(miejsca zerowe
).
![{ ′ 0⋅Q (− 1) + 1 − 1+ 1 = 0 ⋅Q (− 1) − a + b 0⋅Q (1) + 1 + 1 + 1 = 0 ⋅Q ′(1 )+ a + b { 1 = −a + b 3 = a+ b](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR7x.gif)
Dodając równania stronami mamy , zatem
.
Sposób II
Zauważmy, że
![x3 + 2x2 − x − 2 = x2(x+ 2)− (x+ 2) = (x2 − 1)(x + 2).](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR10x.gif)
Wiemy zatem, że
![W (x) = (x 2 − 1)(x + 2 )Q(x )+ x 2 + x+ 1.](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR11x.gif)
To oznacza, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez jest taka sama jak reszta z dzielenia wielomianu
przez
. Wykonujemy to dzielenie (grupując wyrazy).
![2 2 x + x + 1 = (x − 1) + (x + 2).](https://img.zadania.info/zad/9765655/HzadR15x.gif)
Szukana reszta jest więc równa .
Odpowiedź: