Zadanie nr 6308091
Wykaż, że .
Rozwiązanie
Ostatni pierwiastek wygląda najgorzej, więc zostawmy go sobie na koniec i zajmijmy się najpierw dwoma pierwszymi pierwiastkami.
Domyślamy się, że wyrażenie pod każdym z tych pierwiastków jest pełnym kwadratem postaci - pozostaje zgadnąć ile są równe
i
. Za wskazówkę należy przyjąć składniki
i
. Skoro spodziewamy się wyrażenia postaci
składniki te muszą być równe
. Zatem
i
odpowiednio. Teraz już łatwo, np. w przypadku pierwszego pierwiastka spodziewamy się zatem jednej z możliwości

(odwrotne pary nie dają nic nowego, bo ). Łatwo sprawdzić, że prawidłowa jest druga konfiguracja:

Podobnie rozszyfrowujemy drugi pierwiastek

Daną równość możemy więc przekształcić następująco:

Ponieważ obie strony powyższej równości są dodatnie, wystarczy wykazać, że

Skorzystamy ze wzoru

Liczymy
