/Szkoła średnia/Liczby/Potęgi i pierwiastki/Udowodnij...

Zadanie nr 6777344

Uzasadnij, że 27 36 80 < 28 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ oba wykładniki są wielokrotnościami 9, zapiszmy obie liczby jako potęgi z wykładnikiem 9.

( )9 8027 = 803 = 5120009 ( ) 36 4 9 9 28 = 28 = 614656 .

Widać teraz, że 2836 > 80 27 .

Sposób II

Ponieważ oba wykładniki są wielokrotnościami 9, zapiszmy obie liczby jako potęgi z wykładnikiem 9.

( ) 9 80 27 = 803 ( ) 36 4 9 28 = 28 .

Wystarczy teraz porównać liczby w nawiasach. Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny

80 3 < 284 4 3 2 4 (2 ⋅5) < (2 ⋅7) 212 ⋅53 < 28 ⋅74 / : 28 4 3 4 2 ⋅5 < 7 20 00 < 2401 .

Sposób III

Tym razem spróbujemy obie liczby zapisać jako potęgi z wykładnikiem 36. W tym celu szacujemy

80 27 < 8127 = (34)27 = (33)36 = 2736.

Widać teraz, że ta liczba jest mniejsza od 36 2 8 .

Wersja PDF