/Szkoła średnia/Liczby/Potęgi i pierwiastki/Udowodnij...

Zadanie nr 7773277

Wykaż, że liczba ∘ -√-------- 6 3 + 12 jest większa od 4.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ √ -- 3 > 1 , więc √ -- 6 3 > 6 . Zatem

√ -- 6 3+ 12 > 6 + 12 = 18.

Zatem

∘ --√------- √ --- √ --- 6 3+ 12 > 18 > 16 = 4.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

√ -- √ -- √ -- 6 3+ 12 = 3 + 6 3 + 9 = ( 3+ 3)2.

Podstawiamy

∘ -√-------- ∘ -√--------- √ -- √ -- 6 3 + 12 = ( 3 + 3)2 = | 3 + 3| = 3 + 3 > 1 + 3 = 4.

Sposób III

Przekształcamy w sposób równoważny nierówność

---------- ∘ √ -- 2 6 3 + 12 > 4 /() √ -- 6√ 3+ 12 > 16 6 3 > 4 / : 2 √ -- 3 3 > 2 /()2 27 > 4.

Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, co oznacza, że wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

Wersja PDF