Zadanie nr 4968105
Wyznacz wzór funkcji liniowej wiedząc, że zbiorem rozwiązań nierówności
jest przedział
, a zbiorem rozwiązań nierówności
jest przedział
.
Rozwiązanie
Sposób I
Szukamy funkcji postaci . Rozwiążmy podane w treści nierówności
![ax + b > 8 ax + b ≤ − 2 ax > 8− b ax ≤ − 2 − b.](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR1x.gif)
Chcemy teraz podzielić przez . Ze względu na podane rozwiązania tych nierówności, widać, że musi być
– to jest jedyny sposób, żeby rozwiązaniem pierwszej nierówności był zbiór
. Zatem dzieląc zmieniamy znak nierówności.
![8 − b −2 − b x < ------ x ≥ -------. a a](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR5x.gif)
Jeżeli ponownie spojrzymy na podane rozwiązania tych nierówności to dostajemy układ równań.
![{ 8−b -a--= − 1 −2−b-= 4 { a 8 − b = −a − 2 − b = 4a](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR6x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić ) i mamy
![10 = −5a ⇒ a = − 2.](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR8x.gif)
Z pierwszego równania mamy
![b = 8 + a = 6 .](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR9x.gif)
Sposób II
Zadanie możemy też rozwiązać bardziej geometrycznie. Jeżeli narysujemy sobie proste i
, to patrząc na obrazek widać, że szukana prosta musi mieć
oraz musi przecinać prostą
w punkcie
, a prostą
w punkcie
.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR17x.gif)
Szukamy zatem prostej przechodzącej przez te dwa punkty. Możemy to zrobić, jak w poprzednim sposobie, układem równań, lub możemy od razu skorzystać ze wzoru na prostą przechodzącą przez dwa punkty i
:
![(y− yA)(xB − xA ) − (yB − yA )(x− xA) = 0.](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR20x.gif)
Mamy zatem
![(y− 8)5+ 10(x + 1) = 0 (y− 8)+ 2 (x+ 1) = 0 y = − 2x + 6.](https://img.zadania.info/zad/4968105/HzadR21x.gif)
Odpowiedź: