/Konkursy/Zadania/Liczby

Zadanie nr 5487875

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 3 2 n + 3n − 28n jest podzielna przez 6.

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

n3 + 3n2 − 28n = n(n2 + 3n − 2 8).

Rozłóżmy jeszcze trójmian w nawiasie.

Δ = 9 + 11 2 = 121 = 1 12 −3 − 1 1 − 3+ 11 n = ---------= − 7 lub n = ---------= 4 2 2

W takim razie

n (n2 + 3n − 28) = n (n+ 7)(n − 4).

Widać teraz, że liczba ta jest parzysta – bo albo n albo n + 7 jest liczbą parzystą. Wystarczy jeszcze udowodnić, że liczba ta dzieli się przez 3. To jest oczywiste jeżeli samo n dzieli się przez 3, więc załóżmy, że n nie dzieli się przez 3. Wtedy n = 3k+ 1 lub n = 3k+ 2 dla pewnej liczby całkowitej k W pierwszym przypadku

n − 4 = 3k+ 1− 4 = 3k − 3 = 3 (k− 1 )

a w drugim

n + 7 = 3k+ 2+ 7 = 3k + 9 = 3 (k+ 3 )

dzieli się przez 3.

Sposób II

Zauważmy najpierw, że liczba

n3 + 3n 2 − 28n = n2(n + 3 )− 28n

jest parzysta, bo albo n albo n + 3 jest liczbą parzystą. Wystarczy więc udowodnić, że liczba

n3 + 3n2 − 28n = n3 − n + 3n 2 − 2 7n = n 3 − n + 3 (n2 − 9n)

dzieli się przez 3. To z kolei sprowadza się do udowodnienia, że liczba

n3 − n = n(n2 − 1) = (n − 1)n (n + 1)

dzieli się przez 3. A to jest prawda, bo powyższe wyrażenie to iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych i jedna z tych 3 liczb musi dzielić się przez 3.

Wersja PDF