/Konkursy/Zadania/Liczby

Zadanie nr 6351087

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Która z liczb jest większa 992011+1 992012+1 , czy 992012+-1 992013+ 1 ?

Rozwiązanie

Sposób I

Jakoś trzeba zacząć, więc załóżmy np., że pierwsza liczba jest mniejsza od drugiej. Przekształcamy nierówność, żeby się przekonać, czy rzeczywiście tak jest.

992011 +-1 9-92012-+-1 2012 2013 992012 + 1 < 9 92013 + 1 / ⋅(99 + 1)(9 9 + 1) 2011 2013 2012 2 (99 + 1 )(9 9 + 1) < (9 9 + 1) 994024 + 9 92011 + 992013 + 1 < 994024 + 2⋅99 2012 + 1 992011 + 9 92013 < 2 ⋅992012 / : 992011 2 1+ 99 < 2 ⋅99.

Otrzymana nierówność jest oczywiście nieprawdziwa, więc jednak pierwsza liczba jest większa od drugiej.

Sposób II

Jeżeli oznaczymy 2011 a = 99 to dane liczby możemy zapisać w postaci -a+1- x = 99a+ 1 oraz y = 9999a2a++11 . Obliczymy teraz x − y i sprawdzimy, czy jest to liczba ujemna, czy dodatnia.

a + 1 9 9a+ 1 (a+ 1)(992a + 1) − (99a + 1)(99a + 1 ) x− y = --------− ---------= ---------------------------------------= 99a + 1 992a + 1 (9 9a+ 1)(992a+ 1) 99 2a2 + 9 92a+ a+ 1 − 9 92a2 − 2⋅99a − 1 = ------------------------2-----------------= (99a + 1 )(9 9 a+ 1) (992 + 1 − 2 ⋅99)a = -------------2------. (99a + 1)(99 a+ 1)

Liczba ta jest ewidentnie dodatnia, czyli x > y .  
Odpowiedź: 992011+1 > 992012+-1 992012+1 992013+ 1

Wersja PDF