Zadanie nr 6783108

Udowodnij, że dla dowolnych kątów α ,β ∈ R prawdziwe są tożsamości

sin (α+ β) = sinα cos β + sinβ cos α cos(α + β) = co sα cosβ − sin αsin β.

Rozwiązanie

Na mocy okresowości funkcji sinus i cosinus, możemy założyć, że α,β ∈ ⟨0,2π ) . Zauważmy ponadto, że dodanie do kąta powoduje zmianę znaków wszystkich wypisanych wyżej funkcji, które w argumencie mają , na przeciwny. Podobnie jest przy zamianie na β + π . Oznacza to, że wystarczy dowieść tych wzorów dla α,β ∈ ⟨0,π) .

Podobnie sprawdzamy, co się dzieje, gdy zamienimy na π- α+ 2 . Po takiej zamianie, pierwszy wzór zamieni się w drugi, a drugi w pierwszy. Analogicznie jest przy zamianie na β + π- 2 . W ten sposób widzimy, że tak naprawdę wystarczy zajmować się kątami α,β ∈ ⟨0, π-) 2 . W dodatku sytuacje α = 0 lub β = 0 możemy sprawdzić bezpośrednio, więc zostaje nam przedział π α ,β ∈ (0,2-) .

Sposób I

Skorzystamy z twierdzenia sinusów.

Zauważmy najpierw, że przy oznaczeniach z rysunku, mamy

c = BA = BD + DA = aco sβ + bc osα.

Patrzymy teraz na prawy obrazek, w którym wpisaliśmy trójkąt ABC w okrąg o średnicy 1. Na mocy twierdzenia sinusów mamy

a -----= 1 ⇒ a = sin α sin α --b-- sin β = 1 ⇒ b = sin β c -----= 1 ⇒ c = sin γ = sin(π − (α + β)) = sin(α + β ). sin γ

W połączeniu z poprzednią równością daje nam to

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.

W podobny sposób uzasadniamy wzór na sinus różnicy. Tym razem bierzemy trójkąt o kątach i α− β .

Podobnie jak poprzednio mamy

c = DB − DA = acos β− bco sα.

Jeżeli założymy, że okrąg opisany na tym trójkącie ma średnicę 1, to jak poprzednio, z twierdzenia sinusów mamy

c = sin(α − β ) b = sin β a = sin (π − α) = sin α.

W sumie dostajemy więc

sin(α − β ) = c = sin αcos β − sinβ cos α.

Jeżeli teraz podstawimy w tym wzorze π-− β 2 zamiast i skorzystamy ze wzorów redukcyjnych, otrzymamy wzór na cosinus sumy.

Sposób II

Tym razem założymy dodatkowo, że α + β ∈ (0, π2) (tak naprawdę robimy to tylko po to, żeby nie rysować dwóch rysunków w zależności od tego, czy π- α + β < 2 czy nie). Jeżeli tak nie jest, to można zamienić na π- 2 − α oraz na π- 2 − β i skorzystać ze wzorów redukcyjnych.

Przyjmijmy oznaczenia z obrazka.

Liczymy

sin (α+ β) = -BD- = BE--+ ED--= -FC- + ED-- = AD AD AD AD AD FC-- AF-- ED-- -DF- = AF ⋅AD + DF ⋅AD = = sin αco sβ + co sα sin β.

Podobnie

AB AC BC AC EF cos(α+ β) = ----= ----− ---- = ---- − ---- = AD AD AD AD AD = AC--⋅ AF-− EF--⋅-DF- = AF AD DF AD = co sα cosβ − sin αsin β.

Sposób III

Tym razem użyjemy rachunku wektorowego. Zacznijmy od narysowania w układzie współrzędnych wektora jednostkowego → OP o początku w punkcie i tworzącego z osią kąt .

Wtedy P = (cosα,sin α) . Niech → OP ′ będzie wektorem, który powstaje z → OP przez obrót względem punktu o kąt . Oczywiście

P ′ = (co s(α+ β),sin(α + β)).

Spróbujemy teraz wyliczyć współrzędne punktu w inny sposób.

Niech Ox ′y′ będzie układem współrzędnych, który powstaje z Oxy przez obrót względem punktu o kąt . W szczególności oś ′ Ox jest wyznaczona przez wektor → OP = [cosα,sin α] . W takim razie druga oś jest wyznaczona przez wektor → OR , który jest prostopadły do → OP . Łatwo odgadnąć współrzędne tego wektora: → OR = [− sin α,co sα] (prawy obrazek).

W układzie współrzędnych Ox ′y′ wektor → OP ′ ma współrzędne [cos β,sinβ ] , co nam daje następujące współrzędne w układzie Oxy .

→ → → OP ′ = cos β⋅OP + sin β ⋅OR = co sβ ⋅[cosα ,sin α]+ sin β ⋅[− sinα ,cosα] = = [cosβ cos α− sin β sin α,co sβ sin α + sinβ cos α].

W połączeniu z wcześniej zauważoną równością

→ OP ′ = [cos(α+ β),sin(α + β)]

daje to nam żądane równości.

Sposób IV

Podobnie jak poprzednio, użyjemy geometrii analitycznej. Tym razem załóżmy, że β ≥ α i narysujmy w układzie współrzędnych wektory jednostkowe → OP i → OR , które tworzą z osią odpowiednio kąty i .

Wyliczymy długość odcinka P R na dwa sposoby.

Jeżeli dorysujemy trójkąt prostokątny P RS , o bokach równoległych do osi układu, to mamy

PS = cosα − co sβ RS = sin α − sin β 2 2 2 2 2 PR = PS + RS = (co sα − cos β) + (sin α − sin β) = = 2− 2(cosα cos β + cos αsinβ ).

Jeżeli natomiast zrzutujemy punkt na prostą , to mamy trójkąt prostokątny RT P , w którym

RT = sin(α − β) PT = 1 − cos(α − β ) PR 2 = RT 2 + PT 2 = sin2(α − β) + 1 − 2 cos(α − β) + cos2(α − β ) = = 2 − 2 cos(α− β).

Porównując dwa otrzymane wzory na 2 PR mamy

co s(α− β) = cos αco sβ + sin αsin β.

Aby otrzymać wzór na sinus sumy, podstawiamy w otrzymanym wzorze π2 − β zamiast .

Pozostało wyprowadzić wzór na cosinus sumy. Jak już zauważyliśmy w Sposobie I, wystarczy wyprowadzić wzór na sinus różnicy. Możemy założyć, że α > β i korzystamy z jedynki trygonometrycznej

∘ ---------------- ∘ ------------------------------ sin(α − β ) = 1 − cos2(α − β ) = 1 − (cos αco sβ + sinα sinβ )2 = ∘ -------------------------------------------------------- 2 2 2 2 = ∘ 1-−-co-s-αc-os-β-−-2-cosα-cos-βsin-αsin-β−--sin--α-sin--β-=---------- 2 2 2 2 = 1 − (1 − sin α)cos β− 2co sα cosβ sinα sinβ − (1 − co s α) sin β = ∘ ---2---------------------------------------------2-- = sin αco s2β − 2 cosα cosβ sinα sinβ + cos2α sin β = ∘ -------------------------- = (sin αco sβ − cos αsin β)2 = |sin αcos β − cos αsin β| = = sinα cos β− cosα sinβ .

Wartość bezwzględną opuściliśmy korzystając z tego, że sinus jest rosnący, cosinus malejący dla kątów ostrych, więc wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie.

Sposób V

Ten sposób będzie bardzo podobny do Sposobu I, ale obejdziemy się bez twierdzenia sinusów. Tak jak w Sposobie II, zakładamy, że α + β < π . Rysujemy trójkąt o kątach α,β i jego wysokości i (lewy rysunek).

Jeżeli przyjmiemy BC = 1 , to mamy

BE = sin(α + β) DB = co sβ CD = sin β CD--= sinα ⇒ AC = CD---= sin-β- AC sin α sinα AD-- sin-βco-sα AC = co sα ⇒ AD = AC cos α = sinα .

Teraz wystarczy popatrzeć na trójkąt AEB .

BE-- ---BE----- ---sin(α-+-β)--- sinα = AB = AD + DB = sinβ-cosα- sinα + cos β sinβ cos α+ sin α cosβ = sin (α+ β).

Wzór na sumę cosinusów wyprowadzamy parząc na prawy rysunek. Jeżeli przyjmiemy ∡EAB = α,∡EBC = β oraz BC = 1 , to jest jasne, że

BE = cos β EC = sinβ π ∡CBA = ∡ABE − ∡CBE = 2-− α − β CD = sin ∡CBA = cos(α + β) CD CD cos(α + β) CA--= sinα ⇒ CA = sin-α = ---sin-α----.

Patrzymy teraz na trójkąt AEB

sin α BE BE co-sα = tg α = EA--= EC-+--CA-- -sin-α = -----cos-β------ co sα sinβ + cos(α+β)- sinα sin α sin β + cos(α + β ) = cos βco sα cos(α + β) = co sβ cosα − sin αsin β.

Sposób VI

Wzory na sinus sumy i różnicy są prostym wnioskiem z twierdzeń Ptolemeusza i sinusów.

Niech ABCD będzie czworokątem wpisanym w okrąg o średnicy AC = 1 , w którym ∡ACD = α i ∡ACB = β (lewy rysunek). Mamy wtedy

AD = sin α DC = cosα AB = sin β BC = cos β.

Ponadto, z twierdzenia sinusów mamy

BD sin∡BCD----= 2R = 1 ⇒ BD = sin(α + β ).

Pozostało teraz napisać twierdzenie Ptolemeusza.

AC ⋅BD = AD ⋅BC + AB ⋅DC sin (α+ β) = sin αco sβ + sinβ cos α.

Wzór na sinus różnicy wyprowadzamy z prawego rysunku. Tym razem średnicą okręgu niech będzie oraz ∡BAD = α,∡BAC = β . Mamy wtedy

AD = cos α DB = sin α AC = cosβ CB = sin β.

Ponadto z twierdzenia sinusów mamy

DC -----------= 2R = 1 ⇒ DC = sin(α − β ). sin ∡CAD

Pozostało teraz napisać twierdzenie Ptolemeusza.

AC ⋅DB = AD ⋅CB + AB ⋅DC cosβ sinα = cos αsinβ + sin (α− β) sin (α− β) = co sβ sin α − cos αsin β.

Z tego wzoru wyprowadzamy wzór na cosinus sumy podstawiając π-− β 2 zamiast .

Sposób VII

Żądane wzory łatwo wyprowadzić, jeżeli użyje się odrobinę algebry liniowej (w zasadzie będzie to inny sposób zapisu Sposobu III).

Obrót płaszczyzny o kąt względem początku układu współrzędnych jest odwzorowaniem liniowym – spróbujemy napisać jego macierz. Aby to zrobić, wystarczy sprawdzić jakie są obrazy wektorów bazowych [1,0] i [0,1] .