Zadanie nr 8251843

Wykaż, że √ -- √3-- 2 + 2 jest liczbą niewymierną.

Rozwiązanie

Będziemy chcieli skorzystać z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianów o współczynnikach. Aby to zrobić spróbujemy znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba. Liczymy.

√ -- √ -- a = 2+ 3 2 √ -- 3√ -- a − 2 = 2 / ()3 3 √ -- 2 √ -- a − 3 2a + 6a√−--2 2 =√ 2 a 3 + 6a − 2 = 3 2a2 + 2 2 / ()2 a 6 + 36a 2 + 4 + 1 2a4 − 4a3 − 24a = 18a4 + 24a 2 + 8 6 4 3 2 a − 6a − 4a + 12a − 2 4a− 4 = 0.

Na mocy twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach wymiernych, jeżeli p x = q jest pierwiastkiem wymiernym tego wielomianu, to q = ± 1 i dzieli 4. To znaczy, że każdy pierwiastek wymierny tego wielomianu jest całkowity. Ponieważ jednak