/Konkursy/Zadania/Liczby/Potęgi

Zadanie nr 6680785

Wyznacz wszystkie liczby naturalne n , dla których n 2 + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli n 2 2 + 1 = k to mamy

n 2 n 2 = k − 1 ⇒ 2 = (k − 1)(k + 1).

Zatem zarówno k − 1 i k + 1 są potęgami 2. Te liczby są jednak odległe o 2, więc jedyna możliwość to k − 1 = 2 i k+ 1 = 4 . Wtedy mamy

8 = (3− 1)(3+ 1).

 
Odpowiedź: n = 3

Wersja PDF