/Szkoła średnia/Ciągi/Geometryczny/Dany przez iloczyny wyrazów

Zadanie nr 8611319

Ciąg geometryczny (an ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Ilorazem tego ciągu jest liczba √ -- q = 3 , a iloczyn 5 początkowych wyrazów tego ciągu: a1 , a2 , a 3 , a4 , a5 jest równy − 7776 .

  • Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
  • Oblicz sumę pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Ze wzoru na n –ty wyraz ciągu geometrycznego mamy równanie
    a1(a1q)(a1q2)(a1q3)(a1q 4) = − 7776 5 10 a1q = − 777 6 a5 ⋅35 = − 7776 / : 243 1 a51 = − 32 = − 25 ⇒ a1 = − 2.

     
    Odpowiedź: a1 = − 2

  • Korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
    1− q8 1− 81 S8 = a1 ⋅-------= − 2 ⋅----√---= 1 − q 1√−-- 3 160 160( 3 + 1) √ -- = − √-------= − -------------= − 80( 3 + 1). 3 − 1 3− 1

     
    Odpowiedź: S = − 80(√ 3-+ 1) 8

Wersja PDF