Zadanie nr 1994437

Z punktu A = (6 ,3 ) poprowadzono styczne do okręgu 2 2 x + y − 6y = 0 .

Wyznacz równania tych stycznych.
Oblicz odległość punktów styczności.
Oblicz pole ﬁgury zaznaczonej na rysunku.

Rozwiązanie

Zacznijmy od ustalenia o jaki okrąg chodzi (jaki ma środek i promień).

2 2 x + y − 6y+ 9− 9 = 0 x2 + (y− 3)2 = 32.

Jest więc okrąg o środku S = (0,3) i promieniu 3. Teraz możemy dokładniej naszkicować opisaną sytuację.

Proste przechodzące przez punkt są postaci (z wyjątkiem pionowej prostej , ale widać, że ta nie jest styczną). Sprawdźmy kiedy taka prosta i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny (wstawiamy ) do równania okręgu.
$x 2 + (ax − 6a + 3− 3 )2 = 9 2 2 2 2 2 x + a x − 1 2a x+ 36a − 9 = 0 (1 + a2)x 2 − 12a 2x+ (36a2 − 9) = 0.$

Współczynnik przy jest niezerowy, więc mamy równanie kwadratowe. Wystarczy zatem sprawdzić, kiedy .

$0 = Δ = 144a4 − 4(1 + a2)(36a 2 − 9) / : 4 ⋅9 0 = 4a4 − (1 + a2)(4a2 − 1) = 4a 4 − (4a 4 + 3a 2 − 1) √ -- 3a2 = 1 ⇒ a = ± √1--= ± --3. 3 3$

Wyznaczmy od razu punkty wspólne i tych stycznych i okręgu (przyda nam się to w następnym podpunkcie).

$2 2 2 2 ((1+ a ))x − 12a x + (36a − 9) = 0 1- 2 1+ 3 x − 4x + 3 = 0 / ⋅3 2 4x − 12x + 9 = 0 3 (2x− 3)2 = 0 ⇐ ⇒ x = -. 2$

Zatem

$√ --( ) √ -- 3 3 3 3 y = a(x− 6)+ 3 = ± -3-- 2-− 6 + 3 = ± --2--+ 3$

i punkty wspólne mają współrzędne

$( ) ( ) 3 3√ 3- 3 3 √ 3- B = --,-----+ 3 , C = -,− -----+ 3 . 2 2 2 2$

Odpowiedź:
W poprzednim podpunkcie obliczyliśmy współrzędne punktów styczności. Ponieważ obydwa leżą na pionowej prostej , ich odległość jest równa
$√ -- ( √ -- ) √ -- y − y = 3--3-+ 3− − 3--3-+ 3 = 3 3. B C 2 2$

Odpowiedź:
Żądane pole ﬁgury obliczymy odejmując od pola czworokąta pole wycinka kołowego . Czworokąt składa się z dwóch identycznych trójkątów i . Podstawa takiego trójkąta ma długość równą pierwszej współrzędnej punktu , czyli . Jego wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość równą połowie długości odcinka , wiec pole jest równe
$-- 3√ 3 √ -- PABSC = 2PASB = 6 ⋅-----= 9 3. 2$

Do obliczenia pola wycinka potrzebna nam jest znajomość miary kąta . Obliczmy najpierw miarę kąta . Ponieważ trójkąt jest prostokątny (bo styczna jest prostopadła do promienia), mamy

$cos ∡BSA = BS--= 3-= 1. SA 6 2$

Zatem i . Interesujące nas pole wycinka koła stanowi więc trzecią część pola całego koła, czyli

$1 --⋅π ⋅3 2 = 3π . 3$

Możemy wreszcie policzyć pole ﬁgury opisanej w poleceniu,

$√ -- P = P − 3π = 9 3 − 3π . ABSC$

Odpowiedź: